【教师论坛】借助空间向量解决探索性问题

借助空间向量解决探索性问题

——绥化市2013年科研成果参评材料

第一中学  柳  冶

立体几何常见的类型主要有：①考查线线、线面、面面关系的证明，此类题目常以解答题的第一问出现；②计算空间的角和距离，此类题目常以解答题的第二问出现；③求简单几何体的截面积、侧面积、表面积、体积等，此类题目通常以解答题的第三问出现；④作简单几何体，并求出其中的有关量，此类题目以图形为基础，形成新题型。⑤考查常见几何体为三棱、四棱、五棱锥或柱，在条件中一定有一些垂直关系如直的锥体或柱体、面面垂直、线面垂直等，为建立直角坐标系提供模型

一、课题

借助空间向量解决探索性问题

二、教学目标：

知识与技能：理解并掌握两个平面平行、垂直的定义，以及判定定理和性质定理，进一步培养学生的空间想象能力，并能运用其解决一些具体问题。了解点的位置向量的概念，理解直线的方向向量与平面的法向量的概念，能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直、平行关系，掌握求直线的方向向量与平面的法向量的方法。

过程与方法：

1.通过师生之间、学生与学生之间的相互交流，使学生学会与别人共同学习。

2.通过概念的理解和应用，可以提高学生感知和梳理知识的能力；由具体问题的解决到解题方法的总结，可以培养学生的探索、操作和归纳能力；用数学语言描述几何知识，可以提高学生的数学表达和交流能力，发展独立获取数学知识的能力

3.通过探究、思考、反思完善，进一步培养学生空间想象能力、理性思维能力。

情感态度与价值观：

1.通过对平面与平面的位置关系的概念的学习，使学生认清基本概念的来龙去脉，加深对人类认识事物的一般规律和认识，使学生体会知识之间的有机联系，感受数学的整体性，激发学生的学习兴趣，培养学生严谨的科学精神。

2.在教学过程中，通过学生的相互交流，来加深对平面与平面平行的判定定理的理解，增强学生数学交流能力，培养学生倾听、接受别人意见的优良品质。

3.通过对立体几何中的向量方法的学习过程，激发学生对数学的好奇心和求知欲，培养学生良好的学习习惯和思维品质，培养学生勇于探索、勤于思考的科学精神，渗透唯物辩证法的思想，引导学生树立科学的世界观，提高学生的数学涵养和综合素质。体现了理论联系实际的原则，更好地培养学生分析问题与解决问题的能力

三、教学重点，难点，关键

由于这是立体几何中的向量方法的第一课时，我根据新《数学课程标准》的要求以及学生学习的情况，把直线的方向向量和平面的法向量概念的理解及应用作为本节课的重点。直线的方向向量和平面的法向量的应用对于学生来讲是不太好接受的，所以我把应用确定为难点，而它们又是用向量解决几何问题的纽带，故如何找好直线的方向向量和平面的法向量就是关键所在。

类比联想、研究探讨、直观想象、启发诱导、建立模型、学会应用、发展潜能、形成能力、提高素质。

四、学法指导

教学矛盾的主要方面是学生的学。学是中心，会学是目的。因此，在教学中要不断指导学生学会学习。根据立体几何教学的特点，这节课主要是教给学生“动手做，动脑想；严格证，多训练，勤钻研”的研讨式学习方法。这样做，增加了学生主动参与的机会，增强了参与意识，教给学生获取知识的途径；思考问题的方法。使学生真正成为教学的主体。也只有这样做，才能使学生“学”有新“思”，“思”有所“得”，“练”有所“获”。学生才会逐步感到数学美，会产生一种成功感，从而提高学生学习数学的兴趣；也只有这样做，才能适应素质教育下培养“创新型”人才的需要。

五、教学过程：

立体几何的问题解决：一是如何将立体几何问题转化成平面几何问题，二是数学思想方法怎样得到充分利用、渗透，这些都需在实践中进一步体会.

在立体几何中引入空间向量以后,许多问题都可以用向量的方法解决。利用空间向量解立体几何问题,主要有两种策略,一是建立空间直角坐标系,通过向量的坐标运算解决问题;二是不建立坐标系,直接利用空间向量的基本定量,即有关向量用空间的一组基底表示出来,然后通过向量的有关运算求解,在给出的空间图形适合建立坐标系的情况下,可以通过建立空间坐标系,将几何元素之间的关系数量化,进而通过计算求解、证明问题,下面通过一些具体问题来体会向量法的优越性。

建构主义学习理论认为“情境”、“协作”、“会话”和“意义建构”是学习环境中的四大要素。本教学过程就是围绕这四个基本认知环节，体现了以学生为主体，以学生主动学习为中心的思想。本教学过程设计充分运用多媒体这一教学技术手段，通过由浅入深、循序渐进的推进方式来实现本节的教学目的。
    1．复习回顾：

师生共同复习回顾，线面平行、垂直的定义，判定定理以及性质定理。如何用向量法证明线线平行、垂直，线面平行、垂直，面面平行、垂直。回顾用向量法求空间向量角的求法及公式。

基础知识落实：

生：（1）向量法求异面直线所成的角

若异面直线a，b的方向向量分别为a，b，异面直线所成的角为θ，则cosθ＝|cos<a，b>|＝_________.

（2）向量法求线面所成的角

求出平面的法向量n，直线的方向向量a，设线面所成的角为θ，则sinθ＝|cos<n，a>|＝_________.

（3）向量法求二面角

求出二面角α－l－β的两个半平面α与β的法向量n₁，n₂，若二面角α－l－β所成的角θ为锐角，则

cosθ＝|cos<n₁，n₂>|＝_________；

若二面角α－l－β所成的角θ为钝角，则

cosθ＝－|cos<n₁，n₂>|＝_________.

（4）设a，b分别是两条直线a，b的方向向量，则a∥b⇔a＝λb；a⊥b⇔a·b＝0. 师：非常好！对公式记忆较好。

  这一环节的主要内容有四个方面：导语、复习、练习、思考，可以使学生产生一种强烈的探索欲和求知欲，激发学生学习的兴趣；采用观察讨论、动手练习、典型发言的方法，自然地引入到本节的课题，以实现培养学生良好的学习习惯和思维品质的目的。

师：请看下面的问题。

2.重点知识落实

例1如图，已知平行四边形ABCD中，BC＝2，BD⊥CD，四边形ADEF为正方形，平面ADEF⊥平面ABCD，G，H分别是DF，BE的中点。

(1)求证：GH∥平面CDE；

(2)记CD＝x，V(x)表示四棱锥F—ABCD的体积；

(3)求V(x)的表达式；当V(x)取得最大值时，求平面ECF与平面ABCD所成锐二面角的余弦值．

生：(1)证法1：∵EF∥AD，AD∥BC，∴EF∥BC且EF＝AD＝BC.

∴四边形EFBC是平行四边形，

∴H为FC的中点．

又∵G是FD的中点，

∴HG∥CD.

∵HG⊄平面CDE，

CD⊂平面CDE，

∴GH∥平面CDE.

生：证法2：连接EA，∵ADEF是正方形，∴G是AE的中点．

∴在△EAB中，GH∥AB.

又∵AB∥CD，∴GH∥CD.

∵HG⊄平面CDE，

CD⊂平面CDE，

∴GH∥平面CDE.

师：还有其他方法吗？

生：向量法，证明线与面的法向量垂直。

师：　1.空间中线面的平行与垂直是立体几何中经常考查的一个重要内容，一方面考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力；另一个方面考查“向量法”的应用．

2．空间中线面的平行与垂直的证明有两个思路：一是利用相应的判定定理和性质定理去解决；二是利用空间向量来论证．

生：(2)∵平面ADEF⊥平面ABCD，交线为AD，

且FA⊥AD，∴FA⊥平面ABCD.

∵BD⊥CD, BC＝2，CD＝x，∴FA＝2，BD＝(0．

∴ S_▱ABCD＝CD·BD＝x.

∴V(x)＝S_▱ABCD·FA＝x　(0．

生：(3)解法1：在平面DBC内过点D作DM⊥BC于M，连接EM.

∵BC⊥ED，∴BC⊥平面EMD，∴BC⊥EM.

∴∠EMD是平面ECF与平面ABCD所成的二面角的平面角．

∵当V(x)取得最大值时，CD＝，DB＝.

∴DM＝BC＝1，EM＝＝.

∴sin∠EMD＝＝.

即平面ECF与平面ABCD所成的二面角的余弦值为.

师：那么利用空间向量如何进行解题？

生：只需求出两个平面的法向量，再利用公式即可解题。

生:解法2：以点D为坐标原点，DC所在的直线为x轴，DB所在的直线为y轴，DE所在的直线为z轴建立空间直角坐标系如图示，

则D(0,0,0)，C(，0,0)，B(0，，0)，E(0,0,2)．

∴＝(0,0，)，＝(，0，－2)，＝(0，，－2)．

设平面ECF与平面ABCD所成的二面角为θ，

平面ECF的法向量n＝(a，b，c)，

由n⊥，n⊥，得a－2c＝0，b－2c＝0.

令c＝1，得n＝(，，1)．

 又∵平面ABCD的法向量为，

∴cos θ＝＝＝.

师：运用空间向量坐标运算求空间角的一般步骤为：

(1)建立恰当的空间直角坐标系．

(2)求出相关点的坐标．

(3)写出向量坐标．

(4)结合公式进行论证、计算．

(5)转化为几何结论．

3.难点知识探究：

例2　已知某几何体的直观图和三视图如下图所示， 其正视图为矩形，左视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形．

(1)证明：BN⊥平面C₁B₁N ；

(2)求二面角C—NB₁—C₁的余弦值；

(3)M为AB的中点，在线段CB上是否存在一点P，使得MP∥平面CNB₁，若存在，求出BP的长；若不存在，请说明理由．

生：(1)：证明∵该几何体的正视图为矩形，左视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形，

∴BA，BC，BB₁两两垂直．以BA, BB_1，BC分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，

则B(0,0,0)，N(4,4,0)，B₁(0,8,0)，C₁(0,8,4)，C(0,0,4) .

∵·＝(4,4,0)(－4,4,0)＝－16＋16＝0，

·＝(4,4,0)(0,0,4)＝0，

∴BN⊥NB_1, BN⊥B₁C₁.又NB₁与B₁C₁相交于B_1,

∴BN⊥平面C₁B₁N.

生：(2)：∵BN⊥平面C₁B₁N, ∴是平面C₁B₁N的一个法向量n₁＝(4,4,0). 设n₂＝(x，y，z)为平面NCB₁的一个法向量，

∴

∴∴n₂＝(1,1,2)．

则cos〈n₁，n₂〉＝＝＝＝.

由图可知，所求二面角为锐角，

所以，所求二面角C－NB₁－C₁的余弦值为.

生：(3)∵M(2,0,0)，设P(0,0，a)(0≤a≤4)为BC上一点，则＝(－2,0，a)．

∵MP∥平面CNB_1, ⊥n₂，

∴·n₂＝(－2,0，a)·(1,1,2)＝－2＋2a＝0，∴a＝1.

∴在CB上存在一点P(0,0,1), MP∥平面CNB₁且BP＝1.

师：求二面角最常用的办法就是分别求出二面角的两个面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角．

其计算公式为：设m，n分别为平面α，β的法向量，则θ与〈m，n〉互补或相等，|cosθ|＝|cos〈m，n〉|＝.

例3：某设计部门承接一产品包装盒的设计（如图所示）,客户除了要求AB，BE边的长分别为20cm和30cm外，还特别要求包装盒必须满足：（1）平面ADE⊥平面ACD，（2）平面ADE与平面ABC所成的二面角不小于60°，（3）包装盒的体积尽可能大。若设计出的样品满足：∠ACB与∠ACD均为直角且AB长20cm，矩形DCEB的边长BE=30cm，请你判断包装盒的设计是否符合客户的要求？说明理由

师：用抽签的方式选一名同学来给大家讲解一下这道题。

生：学生在黑板上板演这道题。

师：空间向量最适合于解决这类立体几何中的探索性问题，它无需进行复杂的作图、论证、推理，只需通过坐标运算进行判断．在解题过程中，往往把“是否存在”问题转化为“点的坐标是否有解，是否有规定范围的解”等，所以使问题的解决更简单、有效，应善于运用这一方法解题．

立体几何中已知结论寻求结论成立的条件(或是否存在问题)，能较好地考查学生的逻辑推理能力和空间想象能力，是今后考查的重点，也能很好地体现新课标高考的特点．

（六）知识综合运用：

1.如图，已知ABCD为平行四边形，∠A＝60°，AF＝2FB，AB＝6，点E在CD上，EF∥BC，BD⊥AD，BD与EF相交于N.现将四边形ADEF沿EF折起，使点D在平面BCEF上的射影恰在直线BC上．

(1)求证：BD⊥平面BCEF；

(2)求折后直线DN与直线BF所成角的余弦值；

(3)求三棱锥N—ABF的体积．

(1)由EF⊥DN，EF⊥BN，得EF⊥面DNB.

则平面BDN⊥平面BCEF.

由BN＝平面BDN∩平面BCEF，

则D在平面BCEF上的射影在直线BN上．

又D在平面BCEF上的射影在直线BC上，

则D在平面BCEF上的射影即为点B.

故BD⊥平面BCEF.

(2)以B为原点，BC为x轴，BN为y轴，BD为z轴，建立空间直角坐标系，∵在原图中AB＝6，∠DAB＝60°，

则BN＝，DN＝2，∴折后图中BD＝3，BC＝3.

∴N(0，，0)，D(0,0,3)，C(3,0,0)，

＝＝(－1,0,0)．

∴＝＋＝(－1，，0)，＝(0，，－3)．

∴cos〈，〉＝＝.

∴折后直线DN与直线BF所成角的余弦值为.

(3)∵AD∥EF，∴A到平面BNF的距离等于D到平面BNF的距离．

∴V_N－ABF＝V_A－BNF＝V_D－BNF＝S_△BNF·BD＝.

即所求三棱锥的体积为.

2.如图，矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直，BE∥CF，BC⊥CF，AD＝，EF＝2，BE＝3，CF＝4.

(1)求证：EF⊥平面DCE；

(2)当AB的长为何值时，二面角A－EF－C的大小为60°.

生：(1)证明：在△BCE中，BC⊥CF，BC＝AD＝，BE＝3，∴EC＝2.

∵在△FCE中，CF²＝EF²＋CE²，∴EF⊥CE.

由已知条件知，DC⊥平面EFCB，∴DC⊥EF.

又DC与EC相交于C，

∴EF⊥平面DCE.

生：(2)过点B作BH⊥EF交FE的延长线于H，连接AH.

由平面ABCD⊥平面BEFC，平面ABCD∩平面BEFC＝BC，AB⊥BC，得AB⊥平面BEFC，从而AH⊥EF.

所以∠AHB为二面角A－EF－C的平面角．

在Rt△CEF中，因为EF＝2，CF＝4，EC＝2，

∴∠CFE＝60°，由CF∥BE，得∠BEH＝60°，又在

Rt△BHE中，BE＝3，

 ∴BH＝BE·sin∠BEH＝.

由二面角A－EF－C的平面角∠AHB＝60°，

在Rt△AHB中，解得AB＝BH·tan∠AHB＝.

所以当AB＝时，二面角A－EF－C的大小为60°.

师:运用向量法如何解题？

方法2：(1)同解法1

(1)如图，以点C为坐标原点，以CB，CF和CD分别作为x轴，y轴和z轴，建立空间直角坐标系C－xyz.

设AB＝a(a>0)，则C(0,0,0)，A(，0，a)，B(，0,0)，E(，3,0)，F(0,4,0)．

从而＝(－，1,0)，＝(0,3，－a)．

设平面AEF的法向量为n＝(x，y，z)，由·n＝0，·n＝0，得

取x＝1，则y＝，z＝即n＝(1，，)．

不妨设平面EFCB的法向量为＝(0,0，a)．

由条件，得|cos〈n，〉|＝||＝＝，解得a＝.所以当AB＝时，二面角A－EF－C的大小为60°.

（七）错题反思

评审人/宋雅范