刘国玉教学设计

22.1.2 二次函数y=ax²的图象和性质 教学设计

崇文实验学校刘国玉

一、内容和内容解析

1.内容

本节课是人教版《义务教育教科书•数学》九年级上册（以下统称“教材”）第二十二章“二次函数”22.1.2 二次函数y=ax²的图象和性质第1课时，内容包括：二次函数y＝ax²的图象和性质。

2.内容解析

本节课类比一次函数的研究方法，先通过观察函数图象，认识函数特征，从而得出函数的性质。对于二次函数y＝ax²的研究分别从a＞0，a＜0两种情况入手，在具体的研究过程中，始终是从特殊到一般，例如a＞0时，a从具体的数字1开始，再到，2等；在每一次具体的函数研究过程中，都是从图象入手．本节课从形状、开口方向、开口大小、对称性、顶点、增减性对二次函数y＝ax²（a＞0）的图象特征进行研究，从而得到二次函数y＝ax²（a＞0）的性质．此外，a＜0的情况又是类比a＞0的学习方法开展研究，最终经历以上探究过程，得出二次函数y＝ax²的图象特征和性质．

基于以上分析，确定本节课的教学重点：观察函数y＝ax²的图象，数形结合地得出它的图象特征和性质．

二、目标和目标解析

1.目标

1）利用描点法画二次函数y=图象。

2）通过观察图象能说出二次函数y=ax²的图象特征和性质。

3）由二次函数y=（a>0）的图象及性质类比地学习二次函数y=（a<0）的图象及性质，并能比较它们的异同点，培养类比学习能力，渗透数形结合的数学思想方法。

2.目标解析

达成目标（1）的标志是：学生能够选取适当的自变量的值，描点，连线，从而得到二次函数y=图象．

达成目标（2）的标志是：知道抛物线y＝ax²的对称轴，顶点，开口方向，开口大小，最高(低)点；对于函数y＝ax²，通过观察它的图象知道y随x的增大如何变化．

达成目标（3）的标志是：在探究二次函数y＝ax²的图象和性质的过程中，先通过类比一次函数的研究方法，得出二次函数y＝ax²（a＞0）的图象特征及性质，a＜0的情况又是类比a＞0的学习方法开展研究，最终经历以上探究过程，得出二次函数y＝ax²的图象特征和性质．

三、教学问题诊断分析

学生在学习一次函数时，已经掌握了用描点法画函数图象的方法，理解图象“从左至右的变化”对应“函数随自变量的增大的变化”．在本节课上，学生要面对曲线型函数图象，它与一次函数图象的区别在于：对称性、最大(小)值、需分段讨论二次函数y随x的增大如何变化．虽然在研究一次函数时学生知道通过观察函数图象研究函数性质，但是仍然有许多学生不能很好地利用图象来解释问题．

基于以上分析，确定本节课的教学难点为：分段讨论二次函数y随x的增大如何变化． 

四、教学过程设计

（一）复习旧知，引入新课

【提问】

1. 画一个函数图象需要哪些步骤？

2. 画一次函数y=3x+2的图象？

3. 一次函数的图象是什么形状？二次函数的图象是是什么形状？

师生活动：学生积极回答问题，教师给出正确答案。

【设计意图】首先用问题作为切入点，引出新知。学生会根据已有的知识储备轻松得出结果，这样问题就出来了，我们用列表，描点，连线的方法画一次函数y=3x+2的图象。那么可否用这种方法画二次函数y=ax²的图象并研究其性质？从而自然而然的引出下面的数学活动。

（二）探究新知

【问题】用描点法画二次函数 y=x² 的图象。

师生活动：学生动手实践画出二次函数 y=x² 的图象，在学生完成图象后，教师通过多媒体展示画图过程。

【问题】观察y=x²的图象，它有什么特征？它的形状像什么？

师生活动：学生积极回答问题，允许出现不同的观点，教师引导与纠正，最后作如下归纳：

从图象可以看出，二次函数y=x²的图象是一条曲线，它的形状类似于投篮时或掷铅球时球在空中所经过的路线，只是这条曲线开口向上.这条曲线叫做抛物线y=x².

实际上，二次函数的图象都是抛物线，它们的开口或者向上或者向下.一般地，二次函数y=ax²+bx+c的图象叫做抛物线y=ax²+bx+c.

【设计意图】在教学活动的编排上，先让学生接触二次函数y=x²的图象，是因为此函数的图象更接近于现实生活，更利于学生发挥自己的想象力。它的形状类似于投篮时或掷铅球时球在空中所经过的路线，只是这条曲线开口向上。这样能更好的调动学生的学习的积极性，且顺理成章的引出抛物线概念。

【提问】抛物线y=x²是轴对称图形吗？它的对称轴在哪里？

师生活动：学生认真观察二次函数y=x²的图象后给出答案.

【提问】抛物线y=x²与对称轴交点坐标为________叫做抛物线线y=x²的_______,它是抛物线y=x²的最_______点.

师生活动：学生认真观察二次函数y=x²的图象后给出答案.教师通过多媒体展示二次函数y=x²对称轴和顶点位置，从而得出如下结论：

 实际上，每条抛物线都有对称轴，抛物线与对称轴的交点叫做抛物线的顶点。

【切记】顶点是抛物线的最低点或最高点。

【提问】观察y=x²的图象，讨论x与y的变化趋势？

师生活动：学生认真观察二次函数y=x²的图象后，教师引导学生得出如下结论：

从二次函数y=x²的图象可以看出：当x＜0时，y随x的增大而减小；当x＞0时，y随x的增大而增大.

【提问】对比函数y=x²， y=x² ，y = 2x²的图象，有什么共同点与不同点？

师生活动：类比研究二次函数y＝x²的角度和方法，由学生尝试从图象的开口方向、对称轴、顶点、增减性等方面分别描述函数y＝x²，y＝2x²的图象特征．再由教师引导学生归纳：一般地，当a＞0时，抛物线y＝ax²的开口向上，对称轴是y轴，顶点是原点，顶点是抛物线的最低点，a越大，抛物线的开口越小．

【设计意图】经历从特殊到一般的研究过程，归纳出二次函数y＝ax²(a>0)的图象特征和性质．

【练一练】在同一直角坐标系中，画出函数y=-x² ，y=-x² ，y=-2x²的图象.对比函数图象，有什么相同点与不同点？

师生活动：学生动手实践画出二次函数y=-x² ，y=-x² ，y=-2x²的图象，在学生完成图象后，类比a＞0时的研究过程，由学生尝试从图象的开口方向、对称轴、顶点、增减性等方面分别描述当a＜0时，二次函数y＝ax²的图象特征．再由教师引导学生归纳：一般地，当a<0时，抛物线y=ax²的开口向下，对称轴是y轴，顶点是原点，顶点是抛物线的最高点，a越小，抛物线的开口越小．

【设计意图】经历从特殊到一般的研究过程，归纳出二次函数y＝ax²(a<0)的图象特征．

【问题】对比抛物线y=x²和y=-x²，它们关于x轴对称吗？一般地，抛物线y=ax²和y=-ax²呢？

师生活动：教师引导学生归纳：二次项系数互为相反数，则它们关于x轴对称，且抛物线开口方向相反，大小相同.

师：你能说出二次函数y＝ax² 的图象特征和性质吗？

师生活动：学生相互补充，师生共同梳理归纳：

【设计意图】整体梳理二次函数y＝ax²的图象特征和性质．

（三）典例分析与针对训练

例1．已知函数，不画图象，回答下列各题：

1）其图象的开口方向：________

2）其图象的对称轴：________

3）其图象的顶点坐标：________

4）当x>0时，y随x的增大而_______；

5）当x__时，函数y的最_____值是________

[针对训练]

1．抛物线y= x²的对称轴是 ______________，顶点坐标是_________________．

2．已知下列二次函数①；②；③；④；⑤．

（1）其中开口向上的是________（填序号）；

（2）其中开口向下并且开口最大的是______（填序号）；

（3）有最高点的是_______（填序号）．

3．下列说法中正确的序号是_____________

①在函数y=﹣x²中，当x=0时y有最大值0；

②在函数y=2x²中，当x＞0时y随x的增大而增大

③抛物线y=2x²，y=﹣x²，y=﹣中，抛物线y=2x²的开口最小，抛物线y=﹣x²的开口最大

④不论a是正数还是负数，抛物线y=ax²的顶点都是坐标原点

【设计意图】理解与掌握二次函数y＝ax²的性质。

例2．已知抛物线经过、、三点，则、、的大小关系是_______________；（用“<”连接）

[针对训练]

1．若点A、B是二次函数y＝-5x²图像上的两点，已知则___．（填“ >, =,<”）

2．若点（-2，）和（，）在函数的图象上，则__（填“＞”、“＜”或“＝”）

二次函数y=ax² 中比较函数值的大小的方法：

（四）归纳小结

1.如何画出函数y=ax²的图象？

2.函数y=ax²具有哪些性质？

3. 谈谈你对本节课学习的体会？

4.通过本节课的学习，你想继续探究的知识是什么？

(五）教学反思