【教师论坛】浅谈数学思维的培养

浅谈数学思维的培养

远大二中 孙楠楠

从根本上来说，数学教育的目的，不在于或主要不在于培养未来的数学家，更不是一道数学题的答案，而是在于培养人的数学思想和解决问题的方法，开拓头脑中的数学空间，进而促进人的全面发展和提高。在这个过程中不断的培养了人的数学思维，由此可见数学思维的培养尤其重要。

在生活中有这样的一个例子，父问子：“如果你有一个梨，我再给你两个，你数数看一共有几个梨？”子：“……不知道！在学校里，我们都是用苹果数数的，从来不用梨。”从这个例子中可以看出学生在学习中只将重点放在问题的表面，并没有将问题抽象出来1加2等于几的思维，因而就导致了同样一个问题从苹果换成梨就无从解起的后果，这样，小学生数学思维培养的重要性也就可想而知了。数学思维是人脑和数学对象交互作用并按一般思维规律认识数学规律的思维过程.其表现是学生从原有的认知结构出发，通过观察、类比、联想、猜想等一系列数学思维活动，根据数学素材（梨、苹果）形成数学构思而产生数学思维。它的发展阶段是以实际的操作行为依托，逐渐以事物的表象为依托，最终脱离了直观形象而是依靠概念、判断和推理而进行思维。在这个发展阶段中，它总是以客观事物为素材和依据，剥去具体事物的非本质特征，抽取数量关系和空间形式的本质特征及其规律，并把它推广到同类事物或现象之中；通过与数学实际相联系中不断提出问题、分析问题直到解决问题；最终获得思维的逻辑性。

法国教育家卢梭曾经有过这样的观点：形成一种新的独立的学习方法，要比获取知识更为重要。而学生学习方法的形成取决于其独特的思维能力的提高。总体来看，数学思维的基本方法主要有观察、实验、分析、综合、比较、分类、抽象、概括、归纳、演绎、类比、联想等，我们就这十二种基本方法浅谈数学思维的培养；

第一，观察与实验。著名数学家欧拉说过：“数学这门科学，需要观察，也需要实验。”观察是思维的窗口，在思维影响下，有目的、有计划地通过视觉去认识事物、状态及关系的一种主动活动；然而为了有利于观察，我们会有目的、有控制地去创造一些观察对象，这就是实验的方法；所以说实验是有控制的观察，实验为观察创设对象和素材，又通过观察获得实验的结果。如，在小学数学教学中，数学应用题的分析是一个重点也是一个难点，而解决这一重难点的突破口就是观察并寻找出题中的等量关系。这就是说，在数学教学中通过引导学生观察和实验，可以帮助学生发现数学真理和解决问题的方向和途径。从而大大提高学生的学习效率。

第二，分析与综合。在数学思维过程中把对象分解为若干部分、方面和因素，并对它们分别加以研究，找出各自的本质属性及彼此之间的联系，这种思维方法我们称之为分析；所谓综合是把研究对象的各个部分联合成整体，从整体去认识的思维方法；分析和综合形成的关系是综合以分析为基础、分析以综合为指导。实际教学中，在研究数学概念和性质时往往先把研究对象分解成几个部分、方面和因素进行分析，再进行整合综合分析，形成理性认识。事实上，教师和学生在解决问题时都会有意或无意的运用分析和综合的思维方法。如认识平行四边形时，可以从它的边和角几个要素进行分析：它有几条边？几个角？四条边有什么关系？四个角有什么关系？再从整体上概括平行四边形的性质。

数学中的分析法一般被理解为：在解决问题和证明时，从结论出发，一步一步地追溯到产生这一结论的条件是已知的为止，是一种“由果索因”的分析方法。综合法一般被理解为：在解决问题和证明时，从已知条件和某些定义、定理等出发，经过一系列的运算或推理，最终解决问题或证明结论，是一种“由因导果”的综合法。如小学数学中的问题解决，可以从问题入手逐步逆推到已知条件，这是分析法；从已知条件入手，逐步求出所需答案，这是综合法。总之，分析法和综合法是数学学习中应用较为普遍的相互依赖、相互渗透的数学思想方法。

    第三，比较与分类。小学数学的基础知识主要包括:概念、定律、性质、法则、公式等，其中数学概念不仅是数学基础知识的重要组成部分，而且也是学习其他数学知识的基础。在概念教学过程中，为了使学生顺利地获取有关概念，教师常常要提供丰富的感性材料让学生进行分类、比较，最后再抽象概括出概念的本质。而比较是在两个或两个以上的对象或同一个对象在不同时间条件下的相同与不同点的思维方法；在教学中我们通常先比较他们的不同点然后比较相同点，而且先从相差悬殊的特点比起，再比较其细微差别；通过比较，按照一定的标准，把相同性质的事物归为一类，不同性质的则归入不同类别；分类的基本原则：每一次分类按照一个标准，不重不漏。

第四，抽象与概括。抽象与概括是逻辑思维的核心,是更高一级分析与综合的结果。实际上,任何一个数学概念都是抽象并概括的结果。抽象是在认识事物中抽取、揭示出事物的本质属性,而舍弃其他非本质属性；从具体事物、具体现象中的抽象，称为具体的抽象；在具体抽象基础上的较高层次的抽象，被称为原理性抽象；而概括是在认识事物的过程中，将抽象出来同类事物的共同属性连结起来，并将其推广到同一类事物上去的思维方法；从此，我们可以看到比较是对事物进行抽象、概括的基础。

    第五，归纳与演绎。归纳是从同类事物中的若干特殊事物所含有的相似性或同一性中，得出这类事物的一般属性的思维方法；归纳分为不完全归纳和完全归纳两种，所谓不完全归纳是根据某类事物中的部分对象具有（或不具有）某种属性，推知该类事物的全部对象都具有（或不具有）这种属性的思维方法，不完全归纳法又称为简单枚举法；完全归纳是根据同类事物的每个对象都具有（或不具有）某种属性而推出该类事物的全体具有（或不具有）这种属性的思维方法。演绎是同类事物的一般属性推出其中个别对象属性的思维方法。归纳和演绎都是基本的数学思想方法。数学学习常常是通过简单、个别、具体、特殊例子的研究,总结、归纳出一般结论,然后演绎应用于实际问题的解决,或者是通过演绎、推理获取更上位的知识。

    第六，类比与联想。类比是根据两个对象之间存在着一些相同或相似的属性，推测另一些属性也可能相同或相似的思维方法，同时类比带有或然性，其结论不一定可靠；联想、是由当前的某一事物想到与其关联的另一事物的思维方法。  

    逻辑思维是数学思维的核心。逻辑思维有形式逻辑思维与辩证逻辑思维。在数学学习过程中，既有形式逻辑思维，也有辩证逻辑思维。形式逻辑思维是借助于概念、判断、推理等思维形式，遵循形式逻辑规律与法则进行学习活动中的思维。数学学习过程中，也存在着辩证逻辑思维现象。例如，正数与负数在代数和意义下的对立统一现象，“负负得正”中的否定之否定现象，切线作为弦的极限位置是一种量变到质变的过程。对于这些过程的思维都是辩证逻辑思维。不过通常使用的是形式逻辑思维。培养初步逻辑思维能力的基本途径：

（1）要挖掘教材中的智力因素，把培养思维能力贯穿于教学的全过程。

（2）要给学生提供足够的材料。

（3）要顺着学生的思维，重视学习过程。

（4）要重视数学语言的表述。

学生在数学学习中的思维发展中是存在个性差异的，这种差异使得每个学生数学思维品质不同，具体体现在数学思维的深刻性、灵活性、敏捷性、批判性和独创性上。所以在教学过程中，要从数学的感性材料出发，通过逻辑思维，揭示数学与形的本质特征，确定它们的内在联系和规律，并按照事物的发展进行进程；善于从不同的角度、不同的方面进行分析、思考；善于根据条件的变化转换角度，做到思维起点活，思维过程活，有较强的迁移能力；加强思维活动的速度练习，严格估计思维材料和精细检查思维过程，能随时对思维过程进行监控和调节的品质；锻炼学生在面对从未见的新问题时，能采取相应的对策，并能给予独特、新颖的解决。

“成也思维，败也思维”，人的发展核心是发展思维能力，思维是构成人智慧的核心要素，思维训练的目的就在于开发人的智慧，智慧又是在“解题”实践中表现的，所以在学科教学中开展思维训练和智慧开发是素质教育的重要课题。特别的，随着新课标的不断深化，在小学数学的教学过程中更应该重视学生数学综合素质的提升以及学生数学思维能力的培养，这对小学生的全面发展异常重要。因此，在小学数学的教学中，老师应该运用灵活多样的的教学手段培养学生的数学思维能力，让学生在数学思维的引导下获取更多的知识，促进其全面发展。

推荐/孙玉平